Page personnelle de Frédéric Wronecki

Comment extraire une racine cubique ?

C'est presque aussi simple que l'extraction d'une racine carrée (une petite révision est peut-être nécessaire...)
Soit à extraire la racine cubique de 10.808.519.931.
On sépare les chiffres par blocs de trois à partir de la virgule :
On cherche la racine cubique la plus proche par défaut du premier bloc de gauche (010) :
on voit que 23 = 8 < 10 et 33 = 27 > 10.
Donc 2 est le premier chiffre de la racine cubique. On soustrait 8 de 010, il reste 2 que l'on prolonge en abaissant le bloc de trois chiffres suivant :
C'est là que ça se complique : on prend le premier chiffre de la racine, donc 2, et on cherche le plus grand chiffre @ tel que l'expression :
[30 x 2@ x 2 + @2] x @
(où 2@ représente le nombre formé des deux chiffres 2 et @)
soit inférieure ou égale à 2.808.
On voit que :
[30 x 22 x 2 + 22] x 2 = 2.648 < 2.808
[30 x 23 x 2 + 32] x 3 = 4.167 > 2.808
Donc 2 est le deuxième chiffre de la racine cubique. On soustrait 2.648 de 2.808, il reste 160 que l'on prolonge en abaissant le bloc de trois chiffres suivant :
Pour l'étape suivante, il faut trouver le plus grand chiffre @ tel que l'expression :
[30 x 22@ x 22 + @2] x @
soit inférieure ou égale à 160.519.
On voit que :
[30 x 221 x 22 + 12] x 1 = 145.861 < 160.519
[30 x 222 x 22 + 22] x 2 = 293.048 > 160.519
Donc 1 est le troisième chiffre de la racine cubique. On soustrait 145.861 de 160.519, il reste 14.658 que l'on prolonge en abaissant le bloc de trois chiffres suivant :
On recommence de la même façon, en cherchant le plus grand chiffre @ tel que l'expression :
[30 x 221@ x 221 + @2] x @
soit inférieure ou égale à 14.658.931.
On voit que :
[30 x 2211 x 221 + 12] x 1 = 14.658.931
Le résultat tombe juste, ce qui montre que 2211 est la racine cubique recherchée.
Comment extraire une racine cubique ?

Révision : comment extraire une racine carrée ?

Soit à extraire la racine carrée de 203.
On sépare les chiffres par blocs de deux à partir de la virgule :
On cherche la racine carrée la plus proche par défaut du premier bloc de gauche (2), c'est 1.
Donc 1 est le premier chiffre de la racine carrée. On soustrait 1 de 2, il reste 1 que l'on prolonge en abaissant le bloc de deux chiffres suivant :
On cherche alors le plus grand chiffre @ tel que l'expression :
[20 x 1 + @] x @
soit inférieure ou égale à 103.
On voit que :
[20 x 1 + 4] x 4 = 96 < 103
[20 x 1 + 5] x 5 = 125 > 103
Donc 4 est le deuxième chiffre de la racine carrée. On soustrait 96 de 103, il reste 7 que l'on prolonge en abaissant le bloc de deux chiffres suivant :
On cherche maintenant le plus grand chiffre @ tel que l'expression :
[20 x 14 + @] x @
soit inférieure ou égale à 700.
On voit que :
[20 x 14 + 2] x 2 = 564 < 700
[20 x 14 + 3] x 3 = 849 > 700
Donc 2 est le troisième chiffre de la racine carrée. On soustrait 564 de 700, il reste 136 que l'on prolonge en abaissant le bloc de deux chiffres suivant :
On cherche maintenant le plus grand chiffre @ tel que l'expression :
[20 x 142 + @] x @
soit inférieure ou égale à 13.600.
On voit que :
[20 x 142 + 4] x 4 = 11.376 < 13.600
[20 x 142 + 5] x 5 = 14.225 > 13.600
Donc 4 est le quatrième chiffre de la racine carrée. On soustrait 11.376 de 13.600, il reste 2.224 que l'on prolonge en abaissant le bloc de deux chiffres suivant, et ainsi de suite.