Construction de la gamme musicale
  Recherche des solutions
  Dièses et bémols

La gamme à sept degrés

  Rappel des équations
  Recherche des solutions
  Construction de la gamme
  Premier groupe
  Deuxième et troisième groupes
  Noms des intervalles
  Transpositions
Rappel des équations vers haut de page Nous cherchons deux séries d'entiers relatifs a1, b1, c1,..., a2, b2, c2,..., vérifiant :
(1) 1 < 2a1 × 3b1 × 5c1 × ... < 2
1 < 2a2 × 3b2 × 5c2 × ... < 2
N × a1 + P × a2 = 1
N × b1 + P × b2 = 0
N × c1 + P × c2 = 0
etc.


Si N + P = 7, on peut explorer les trois combinaisons possibles :

N = 1, P = 6 (ou N = 6, P = 1)
N = 2, P = 5 (ou N = 5, P = 2)
N = 3, P = 4 (ou N = 4, P = 3)

Recherche des solutions vers haut de page N = 1, P = 6

La recherche exhaustive ne fournit aucune solution utilisant uniquement les facteurs premiers 2 et 3, et deux solutions utilisant 2, 3 et 5, mais sans intérêt :
531441/500000 = 2-5 × 312 × 5-6 et 10/9 = 21 × 3-2 × 51
488281250/387420489 = 21 × 3-18 × 512 et 27/25 = 20 × 33 × 5-2

N = 3, P = 4

La recherche exhaustive ne fournit aucune solution utilisant uniquement les facteurs premiers 2 et 3, et deux solutions utilisant 2, 3 et 5, mais de moindre intérêt :

625/512 = 2-9 × 30 × 54 et 128/125 = 27 30 5-3
648/625 = 23 × 34 × 5-4 et 125/108 = 2-2 × 3-3 × 53

N = 5, P = 2

La recherche exhaustive fait apparaître une seule solution utilisant uniquement les facteurs 2 et 3 :

9/8 = 2-3 × 32 et 256/243 = 28 × 3-5

ainsi qu'une solution moins intéressante utilisant les facteurs 2, 3 et 5 :

648/625 = 23 × 34 × 5-4 et 9765625/7558272 = 2-7 × 3-10 × 510

Nous allons maintenant décortiquer la première solution, qui est particulièrement intéressante dans la mesure où elle remplit effectivement au mieux les trois contraintes imposées.

De plus, cette gamme génère de nouveaux intervalles (entre do et chaque note) dont l'expression est elle aussi particulièrement simple.

Construction de la gamme vers haut de page Les valeurs que nous avons trouvées représentent les intervalles entre les notes successives de la gamme. Par conséquent, pour calculer les fréquences de ces notes, il suffit de procéder comme suit :
  • la première note a pour fréquence conventionnelle 1 ;
  • on choisit l'un des 2+5 intervalles, par exemple le premier des cinq "9/8", que l'on multiplie par la fréquence de la première note, ce qui nous donne la fréquence de la deuxième note : 9/8 ;
  • on choisit un deuxième intervalle, par exemple le deuxième des cinq "9/8", et on le multiplie par la fréquence de la deuxième note, ce qui nous donne celle de la troisième, soit 9/8 × 9/8 = 81/64 ;
  • et ainsi de suite, jusqu'à "retomber" sur la note de fréquence 2 qui referme l'intervalle "2".
21 gammes possibles, en trois groupes !

On voit qu'il faut attribuer un ordre à cette série de 7 intervalles de deux types différents. Il est clair qu'il existe 21 combinaisons possibles, que l'on peut grouper en trois catégories, compte tenu des permutations circulaires (dans le tableau ci-dessous, t représente l'intervalle "9/8" et d l'intervalle "256/243") :

1er groupe 2ème groupe 3ème groupe
t t d t t t d
d t t d t t t
t d t t d t t
t t d t t d t
t t t d t t d
d t t t d t t
t d t t t d t
t d t t t t d
d t d t t t t
t d t d t t t
t t d t d t t
t t t d t d t
t t t t d t d
d t t t t d t
d d t t t t t
t d d t t t t
t t d d t t t
t t t d d t t
t t t t d d t
t t t t t d d
d t t t t t d

Premier groupe vers haut de page Dans le premier groupe, prenons l'arrangement [t t d t t t d] et appliquons la méthode décrite précédemment :

Degrés 1 2 3 4 5 6 7 1
Intervalles 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243
Fréquences 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
Notes do mi fa sol la si do

Nous avons utilisé les noms des notes de la gamme classique (au fait, savez-vous d'où viennent ces noms ?).

Les "modes" grecs

Les autres arrangements (sauf un) ne sont pas utilisés dans la musique européenne, mais ils étaient connus des Grecs qui les appelaient "modes".

Pour les présenter, il suffit d'imaginer des gammes qui, au lieu de commencer par do, commencent par chacune des autres notes, les intervalles intermédiaires ne changeant pas. On obtient ainsi :

Arrangement Gamme obtenue Nom du "mode" grec
t t d t t t d do ré mi fa sol la si do lydien
t d t t t d t mi fa sol la si do ré phrygien
d t t t d t t mi fa sol la si do ré mi dorien
t t t d t t d fa sol la si do ré mi fa hypolydien
t t d t t d t sol la si do ré mi fa sol hypophrygien
t d t t d t t la si do ré mi fa sol la hypodorien
d t t d t t t si do ré mi fa sol la si mixolydien

Le mode lydien correspond à notre gamme de Do Majeur, et le mode hypodorien à notre gamme de La mineur.

Deuxième et troisième groupes vers haut de page Dans le deuxième groupe, prenons l'arrangement [t d t t t t d]. Nous pouvons construire une gamme avec la même méthode que précédemment.

Degrés 1 2 3 4 5 6 7 1
Intervalles 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 9/8 256/243
Fréquences 1 9/8 32/27 4/3 3/2 27/16 243/128 2
Notes do mib fa sol la si do

On voit que par rapport à la gamme du premier groupe, il y a une seule note différente, que nous nommons mi bémol (notée mib).

Cette gamme s'appelle "gamme mineure mélodique".

Enfin, le troisième groupe n'est pas utilisé, en raison de la succession des deux demi-tons.

Noms des intervalles

 Récapitulation des intervalles
 Mélodies pour mémoriser les intervalles
 "Calculette"

vers haut de page Ton et demi-tons (au pluriel)

L'intervalle 9/8 sera appelé "ton" et l'intervalle 256/243 "demi-ton", bien qu'il ne soit pas égal à la "moitié" du ton, puisque 9/8 n'est pas le carré de 256/243. On observe que :

9/8 = 256/243 × 2.187/2.048

Appelons 256/243 "demi-ton diatonique", noté d (delta) et 2.187/2.048 "demi-ton chromatique", noté x (ksi), l'écart entre les deux étant :

2.187/2.048 × 243/256 = 531.441/524.288

que l'on appellera "comma", noté k (khi) : cet intervalle est à peine audible, sauf pour les oreilles très exercées.

En notation mathématique, nous pouvons donc écrire t = d + x = 2.d + k, ou sous forme graphique (les fractions étant remplacées par leurs valeurs décimales) :

Intervalles

Nous pouvons maintenant nommer les nouveaux intervalles qui apparaissent entre le do et chacun des degrés suivants. Le nom de chaque intervalle est basé sur le nombre de notes qu'il englobe, en incluant les limites (ainsi la "tierce" englobe "trois" notes : do, ré, mi).

Entre do et... on a une... notée = (fraction) = (décimal) = (tons)
seconde majeure 2M 9/8 1,1250 t
mi tierce majeure 3M 81/64 1,2656 2t
fa quarte juste 4 4/3 1,3333 2t + d
sol quinte juste 5 3/2 1,5000 3t + d
la sixte majeure 6 27/16 1,6875 4t + d
si septième majeure 7M 243/128 1,8984 5t + d
do octave 8 2 2,0000 5t + 2d

Nota 1 : quelques exemples de  mélodies très connues permettent de mémoriser les principaux intervalles.

Nota 2 : on verra plus loin apparaître des intervalles "mineur" et "majeur", ou "augmenté" et "diminué" (voir le  tableau récapitulatif des intervalles)

Transpositions vers haut de page A partir du premier arrangement du premier groupe, il est également possible de construire de nouvelles gammes commençant non plus à partir de do, mais à partir des autres notes : on fait ainsi apparaître les dièses et bémols.
vers haut de page