Construction de la gamme musicale
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Les "petites" gammes

  Rappel des équations
  Gamme à deux degrés
  Gamme à trois degrés
  Gamme à quatre degrés
  Gamme à cinq degrés
  Gamme à six degrés
  Récapitulation
Rappel des équations vers haut de page Nous cherchons deux séries d'entiers relatifs a1, b1, c1,..., a2, b2, c2,..., vérifiant :
(1) 1 < 2a1 × 3b1 × 5c1 × ... < 2
1 < 2a2 × 3b2 × 5c2 × ... < 2
N × a1 + P × a2 = 1
N × b1 + P × b2 = 0
N × c1 + P × c2 = 0
etc.


Maintenant, nous nous intéressons aux cas où N + P = 2, 3, 4,... et nous allons délibérément ne retenir que les intervalles s'exprimant à l'aide des seules puissances de 2 et 3, comme ceux que nous avons utilisés dans la gamme à sept degrés.

Gamme à deux degrés vers haut de page On a forcément N = 1, P = 1

Il suffit en fait de prendre deux intervalles dont la "somme" soit 2, et en application de la troisième contrainte de consonance, de les prendre les plus proches possibles.

A l'évidence, la solution la plus élégante est de choisir la quinte (3/2) et la quarte (4/3), ce qui donne la gamme do - sol - do (ou do - fa - do).

Gamme à trois degrés vers haut de page On a forcément N = 1, P = 2, ou l'inverse.

La solution qui convient le mieux comprend deux quartes justes (4/3) et une seconde majeure (9/8), ce qui donne do - fa - sol - do (arrangement [424]), ou bien do - ré - sol - do (arrangement [244]) ou enfin do - fa - sib - do (arrangement [442]).

Gamme à quatre degrés vers haut de page On peut avoir N = 1, P = 3 (ou l'inverse), ou N = 2, P = 2. Le deuxième cas aboutit à une impossibilité mathématique, le deuxième fournit une solution acceptable composée d'une Quinte diminuée (1.024/729) et de trois Secondes majeures (9/8), soit la gamme do - ré - mi - sib - do si l'on prend l'arrangement [3353].
Gamme à cinq degrés (pentatonique) vers haut de page On peut avoir N = 1, P = 4 (ou l'inverse), ou N = 2, P = 3 (ou l'inverse).

Le premier cas ne fournit aucune solution acceptable.

Le deuxième cas est intéressant, car il n'existe qu'une seule solution, consistant à prendre 3 Secondes majeures (9/8) et 2 Tierces mineures (32/27), ce qui donne deux séries d'arrangements possibles, selon que les deux tierces sont consécutives ou séparées : do - ré - mi - sol - sib - do (arrangement [22332]), et do - ré - fa - sol - la - do (arrangement [23223]). Le lecteur pourra reconstituer les autres gammes obtenues par permutations.

Gamme à six degrés vers haut de page Les combinaisons N = 2, P = 4 et N = 3, P = 3 aboutissent à des impossibilités, et la combinaison N = 1, P = 5 ne donne qu'une solution sans intérêt (trop complexe).
Récapitulation vers haut de page Le tableau synoptique récapitule l'ensemble des gammes obtenues, de deux à sept degrés.
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