Construction de la gamme musicale
 Justification physiologique de la consonance
 Recherche des solutions

Position du problème

   L'intervalle : un rapport
  Conséquences sur les calculs
  L'intervalle "2"
  La notion de "gamme"
  Enoncé du problème
  Première contrainte
  Deuxième contrainte
  Troisième contrainte
  Simplification des calculs
L'intervalle est un rapport, non une différence vers haut de page Le caractère consonant de l'intervalle "2" est lié au rapport entre les fréquences et non à leur différence. On retrouve en effet la même consonance entre 2F et 4F, entre 2/3 F et 4/3 F, etc.

Donc un intervalle s'exprime mathématiquement par un rapport.

Conséquences sur la conduite des calculs vers haut de page Puisque les intervalles sont des rapports :
  • la "somme" (auditive) de deux intervalles s'exprime par le produit de leurs rapports ;
  • leur "différence" s'exprime par le quotient des rapports ;
  • "doubler" un intervalle s'exprime par le carré de son rapport ;
  • etc.
Le "monde clos" de l'intervalle "2" vers haut de page Puisqu'une note de fréquence 2F est ressentie comme "équivalente" à une note de fréquence F, nous pouvons décider de "confiner" la recherche des intervalles consonants à l'intérieur de la fourchette [1, 2].

Les intervalles recherchés s'exprimeront donc sous la forme de rapports compris entre 1 et 2.

La notion de "gamme" vers haut de page Toute mélodie est constituée de différentes notes, chacune ayant sa propre fréquence, et conçues de façon à ce qu'elles forment entre elles des intervalles aussi consonants que possible.

Classons cet ensemble de notes dans l'ordre croissant des fréquences, et puisque seuls les rapports entre ces fréquences nous intéressent, décidons par convention que la note la plus grave a pour fréquence 1.

Quant à la note la plus aiguë, ce sera forcément celle de fréquence 2, puisque nous cherchons à construire une gamme à l'intérieur du "monde clos" de l'intervalle "2".

Enoncé du problème vers haut de page Nous cherchons donc un ensemble de notes, dont les fréquences relatives seront notées 1, a, b, c,..., n, 2.

Les intervalles successifs entre ces notes sont donc i1 = a/1, i2 = b/a, i3 = c/b,..., in = 2/n.

On peut alors écrire les équations fondamentales :

(1) pour tout k, 1 < ik < 2
i1 × i2 × ... × in = 2

Première contrainte de consonance vers haut de page On a vu qu'un intervalle était d'autant plus consonant que le ppcm des périodes était plus proche de la période de la note la plus grave.

Nous cherchons donc des intervalles qui s'expriment sous la forme de fractions irréductibles p/q (p et q entiers et premiers entre eux) aussi simples que possible. Le ppcm de [p, q] étant pq, nous chercherons donc à minimiser cette valeur.

Deuxième contrainte de consonance vers haut de page Les intervalles i1, i2,..., in, peuvent avoir des valeurs différentes, ou se regrouper par valeurs identiques.

La gamme "idéale" serait celle dont tous les intervalles seraient égaux (notes "équidistantes"), ce qui s'écrit in = 2.

Il est impossible de trouver une solution respectant aussi la première contrainte : en effet, i doit être égal à la racine n-ième de 2 qui est un nombre irrationnel et ne peut donc pas s'écrire sous la forme d'une fraction p/q.
(et pourtant... la gamme que nous utilisons aujourd'hui est constituée de 12 demi-tons identiques ! c'est ce que l'on appelle le  tempérament égal)

A défaut d'une gamme "idéale", on peut se fixer comme contrainte de n'avoir que deux sortes d'intervalles, soit N du type i1 et P du type i2 (avec N + P = n).

L'équation (1) s'écrit donc :

(2) 1 < i1 < 2
1 < i2 < 2
i1N × i2P = 2

Remarque : la première et la deuxième contrainte sont antagonistes : en d'autres termes, on pourra obtenir des fractions plus simples si l'on accepte plus de deux types d'intervalles différents. Mais comme le propos de cet exposé est de faire apparaître de façon simple mais rigoureuse la genèse de la gamme chromatique actuelle, nous nous fixons en priorité un nombre maximum de deux types d'intervalles, quitte à accepter un peu plus de complexité dans l'expression des intervalles. A titre d'exemple, la  gamme de Zarlino est un modèle de simplicité, mais elle fait appel à trois intervalles différents et s'avère inexploitable pour cet exposé.

Troisième contrainte de consonance vers haut de page Puisqu'il y a deux types d'intervalles au sein de la gamme, recherchons une forme de consonance entre ces deux intervalles, à savoir que le plus grand soit aussi proche que possible du "double" du plus petit (il ne peut pas l'être exactement, car alors i2 vaudrait i12, et l'équation (2) se ramènerait à i1N+2P = 2, donc à une impossibilité).
Simplification des calculs vers haut de page Toute fraction irréductible p/q peut aussi s'écrire comme le produit de puissances (positives, nulles ou négatives) des nombres premiers successifs :
p/q = 2a × 3b × 5c × ..., avec a, b, c,..., entiers relatifs.

de sorte que l'équation (2) s'écrit :

(3) 1 < 2a1 × 3b1 × 5c1 × ... < 2
1 < 2a2 × 3b2 × 5c2 × ... < 2
2Na1 + Pa2 × 3Nb1 + Pb2 × 5Nc1 + Pc2 × ... = 2

La dernière équation peut aussi s'écrire, en ne considérant que les exposants :

(4) N × a1 + P × a2 = 1
N × b1 + P × b2 = 0
N × c1 + P × c2 = 0
etc.

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