Construction de la gamme musicale
 Position du problème : 2ème contrainte de consonance

La gamme de Zarlino

   Principe de construction
Qualification des intervalles
Construction de la gamme
  Intervalles constitutifs
Avantages et inconvénients
Principe de construction vers haut de page La gamme de Zarlino se construit par divisions harmoniques successives de l'intervalle "2", à l'aide de fractions "alternes" (p/q et q/r) :
  • l'intervalle "2/1" se divise en 4/3 × 3/2 ;
  • l'intervalle "3/2" se divise en 6/5 × 5/4 ;
  • l'intervalle "4/3" se divise en 10/9 × 9/8.
Qualification des intervalles vers haut de page On retrouve des intervalles connus :
  • "3/2" = quinte (do-sol) ;
  • "4/3" = quarte (do-fa) ;
  • "9/8" = ton (do-ré).
et on voit apparaître des intervalles nouveaux, que nous pouvons qualifier en fonction de leur proximité avec des intervalles que nous connaissons déjà :
  • "6/5" = tierce mineure (do-mib), parce que très proche de 32/27 ;
  • "5/4" : tierce majeure (do-mi), parce que très proche de 81/64 ;
  • "10/9" : ton "mineur" ("9/8" étant qualifié de ton "majeur").
Mais il faut noter immédiatement que cette façon de procéder est inacceptable au regard de l'objectif de cet exposé qui était de construire une gamme ex nihilo, puisqu'ici nous supposons déjà connus ces intervalles.
Construction de la gamme vers haut de page Les intervalles obtenus ne permettent de construire qu'une moitié de la gamme (ré, mi, fa et sol). Pour bâtir la deuxième moitié, on peut partir du fa, dont on multiplie la fréquence par les mêmes valeurs (i.e. par 9/8, 5/4, 4/3 et 3/2) :

Degrés 1 2 3 4 5 6 7 1
Fréquences 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
Intervalles 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
Notes do ré mib fa sol la si do

Intervalles constitutifs vers haut de page Le tableau précédent met en évidence le fait que la gamme de Zarlino comporte trois intervalles constitutifs : deux "tons" différents et un demi-ton qui valent :
  • "9/8" = ton majeur (204 cents)
  • "10/9" = ton mineur (182 cents)
  • "16/15" = demi-ton (112 cents)
Avantages et inconvénients vers haut de page Si la gamme de Zarlino a l'avantage de faire appel à des fractions remarquablement simples (au point qu'elle est souvent qualifiée de "gamme naturelle"), le dédoublement du "ton" complique sérieusement les calculs.

En effet, comme il n'y a aucune raison a priori d'utiliser l'un ou l'autre ton entre deux notes quelconques, on peut imaginer un grand nombre de combinaisons différentes, sans aucune justification pour en privilégier une par rapport aux autres.

De plus, même si l'on conserve strictement l'arrangement de la gamme décrite dans le tableau ci-dessus, la mise en oeuvre des transpositions successives (voir   Dièses et bémols) fait apparaître des dédoublements de valeurs.

Le lecteur pourra ainsi vérifier simplement :

  • qu'en Ré majeur, un mi "bis" apparaît : il suffit de multiplier la fréquence de ré (9/8) par 9/8 pour trouver 81/64, valeur différente de 5/4 ;
  • qu'en La majeur, un ré "bis" apparaît, valant 10/9 au lieu de 9/8, et que do# et fa# prennent des valeurs différentes de celles trouvées en Sol majeur et Ré majeur ;
  • qu'en Sib majeur, un sol "bis" apparaît, valant 40/27 au lieu de 3/2 ;
  • qu'en Mib majeur, un do "bis" apparaît, valant 160/81 au lieu de 1 (ou 2) ;
  • qu'en Lab majeur, un fa "bis" apparaît, valant 320/243 au lieu de 4/3.
De même, les calculs montrent que l'écart entre une note et la même note diésée (ou bémolisée) peut prendre deux valeurs distinctes selon les tonalités, à savoir 135/128 ou 40/27.

En conclusion, cette gamme est inexploitable pour le propos de cet exposé.

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